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        橢圓參數(shù)方程

        來源:懂視網(wǎng) 責編:小OO 時間:2020-10-08 22:39:24
        導讀操作方法參數(shù)方程由來:圓的參數(shù)方程[特殊情形,圓心(0,0),半徑R]{x=Rcosαy=Rsinα(α為參數(shù),0≤α<2π)其參數(shù)α的幾何意義是圓上動點和圓心連線的旋轉(zhuǎn)角,如下圖所示;圓的參數(shù)方程[一般情形,圓心(m,n),半徑R]{x=m+Rcosαy=n+Rsinα(α為參數(shù),0≤α<2π)注意:很多容易和極坐標的坐標(ρ,θ)中的θ混淆,如圖所示,參數(shù)α=∠ACP;范圍α∈[0,2π]橢圓的參數(shù)方程{x=acos?y=bsin?(?為參數(shù),0≤?<2π)其參數(shù)?的幾何意...

        操作方法

        參數(shù)方程由來:
        圓的參數(shù)方程[特殊情形,圓心(0,0),半徑R]
        {x=Rcosαy=Rsinα(α為參數(shù),0≤α<2π)
        其參數(shù)α的幾何意義是圓上動點和圓心連線的旋轉(zhuǎn)角,如下圖所示;

        圓的參數(shù)方程[一般情形,圓心(m,n),半徑R]
        {x=m+Rcosαy=n+Rsinα(α為參數(shù),0≤α<2π)
        注意:很多容易和極坐標的坐標(ρ,θ)中的θ混淆,如圖所示,參數(shù)α=∠ACP;范圍α∈[0,2π]

        橢圓的參數(shù)方程
        {x=acos?y=bsin?(?為參數(shù),0≤?<2π)
        其參數(shù)?的幾何意義是對應的大圓或小圓半徑的旋轉(zhuǎn)角∠AOM,也就是橢圓的離心角.不是橢圓上動點和中心連線的旋轉(zhuǎn)角∠AOP;切記!雖然∠AOM和∠AOP二者不相等,但是很顯然這二者也是一一對應的,并且它們的范圍都是[0,2π).

        列子:已知橢圓的參數(shù)方程為{x=2costy=4sint (t為參數(shù)),點M在橢圓上,對應參數(shù)t=π3,點O為原點,則直線OM的斜率為3–√。
        分析:這個說法是錯誤的,怎么糾正呢?

        當t=π3時,代入得到x=2cosπ3=1,y=2sinπ3=23–√,故M(1,23–√),
        則kOM=y?0x?0=23–√。

        化為參數(shù)方程:
        介紹一個容易記憶的方法:
        類比:cos2θ+sin2θ=1
        當圓為x2+y2=4時,先轉(zhuǎn)換為(x2)2+(y2)2=1,
        cos2θ+sin2θ=1
        (x2)2+(y2)2=1
        對應上式,得到cosθ=x2,sinθ=y2,
        故圓的參數(shù)方程為{x=2cosθy=2sinθ(θ為參數(shù));
        當然,我們還可以這樣交叉對應,
        得到sinθ=x2,cosθ=y2,
        故圓的參數(shù)方程還可以為{x=2sinθy=2cosθ(θ為參數(shù));

        【說明】①由此說明,當我們?nèi)〉膮?shù)不一樣時,圓的參數(shù)方程是不一樣的,
        即圓的參數(shù)方程可能不唯一。兩種參數(shù)的含義不一定一樣。
        ②我們約定俗成的取法是第一種。
        ③參數(shù)方程的參數(shù)有時候有明確的幾何意義,有時候沒有。
        當圓為(x?a)2+(y?b)2=R2時,
        先轉(zhuǎn)換為(x?aR)2+(y?bR)2=1,
        對應上式,得到cosθ=x?aR,sinθ=y?bR,
        故圓的參數(shù)方程為{x=a+Rcosθy=b+Rsinθ(θ為參數(shù));
        當橢圓為x2a2+y2b2=1時,
        先轉(zhuǎn)化為(xa)2+(yb)2=1,
        對應上式得到cosθ=xa,sinθ=yb,
        故橢圓的參數(shù)方程為{x=acosθy=bsinθ(θ為參數(shù));

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